某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 $ F $（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：$辆 {/} 小时$）与车流速度 $ v $（假设车辆以相同速度 $ v $ 行驶，单位：$米 {/} 秒$），平均车长 $ l $（单位：$米$）的值有关，其公式为 $F = \dfrac{76000v}{{{v^2} + 18v + 20l}}$．
（1）如果不限定车型，$l = 6.05$，则最大车流量为 $辆 {/} 小时$；
（2）如果限定车型，$l = 5$，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 $辆 {/}小时$．
（1）如果不限定车型，$l = 6.05$，则最大车流量为
（2）如果限定车型，$l = 5$，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
$1900$；$100 $
【解析】
本题是一道应用题，关键是理解题意，然后利用均值不等式来求最值．（1）先把所给车长 $ l $ 值代入公式\[F = \dfrac{76000v}{{{v^2} + 18v + 20l}},\]再把分式的分子、分母同时除以 $ v $，可得\[\begin{split}F&=\dfrac{76000}{v+18+\frac{121}v}\\ &\leqslant \dfrac{76000}{2\sqrt{v\cdot \frac{121}v}+18}\\&=1900.\end{split}\]当且仅当 $v=\dfrac{121}v$，即 $v=11$ 时等号成立．
（2）$l=5$ 时，用与（1）同样的方法可求得此时的最大车流量为 $2000 辆 {/}小时$，所以增加了 $100 辆 {/}小时$．
（2）$l=5$ 时，用与（1）同样的方法可求得此时的最大车流量为 $2000 辆 {/}小时$，所以增加了 $100 辆 {/}小时$．
题目
答案
解析
备注
