设 $f\left( x \right)$ 是定义在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上的函数，且 $f\left( x \right) > 0$，对任意 $a > 0$，$b > 0$，若经过点 $\left( {a,f\left( a \right)} \right)$，$ \left( {b, - f\left( b \right)} \right) $ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $\left( {c,0} \right)$，则称 $c$ 为 $a,b$ 关于函数 $f\left( x \right)$ 的平均数，记为 ${M_f}\left( {a,b} \right)$，例如，当 $f\left( x \right) = 1 \left(x > 0 \right) $ 时，可得 ${M_f}\left( {a,b} \right) =c= \dfrac{a + b}{2}$，即 ${M_f}\left( {a,b} \right)$ 为 $a$，$b$ 的算术平均数．
（1）当 $f\left( x \right) = $ $ \left(x > 0\right) $ 时，${M_f}\left( {a,b} \right)$ 为 $a,b$ 的几何平均数；
（2）当 $f\left( x \right) = $ $ \left(x > 0\right) $ 时，${M_f}\left( {a,b} \right)$ 为 $a,b$ 的调和平均数 $\dfrac{2ab}{a + b}$．
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
（1）当 $f\left( x \right) = $
（2）当 $f\left( x \right) = $
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
（1）$\sqrt x$；（2）$x $
【解析】
此题依照题意计算即可．设 $A\left( {a,f\left( a \right)} \right),B\left( {b, - f\left( b \right)} \right),C\left( {c,0} \right)$，且三点共线．
（1）由题意，得 $c = \sqrt {ab} $，则 $\dfrac{f\left( a \right) - 0}{{a - \sqrt {ab} }} = \dfrac{0 + f\left( b \right)}{{\sqrt {ab} - b}}$，化简得 $\dfrac{f\left( a \right)}{\sqrt a } = \dfrac{f\left( b \right)}{\sqrt b }$，故可选择 $f\left( x \right) = \sqrt x $；
（2）由题意，得 $c = \dfrac{2ab}{a + b}$，则 $\dfrac{f\left( a \right) - 0}{{a - \dfrac{2ab}{a + b}}} = \dfrac{0 + f\left( b \right)}{{\dfrac{2ab}{a + b} - b}}$，化简得 $\dfrac{f\left( a \right)}{a} = \dfrac{f\left( b \right)}{b}$，故可选择 $f\left( x \right) = x $．
（1）由题意，得 $c = \sqrt {ab} $，则 $\dfrac{f\left( a \right) - 0}{{a - \sqrt {ab} }} = \dfrac{0 + f\left( b \right)}{{\sqrt {ab} - b}}$，化简得 $\dfrac{f\left( a \right)}{\sqrt a } = \dfrac{f\left( b \right)}{\sqrt b }$，故可选择 $f\left( x \right) = \sqrt x $；
（2）由题意，得 $c = \dfrac{2ab}{a + b}$，则 $\dfrac{f\left( a \right) - 0}{{a - \dfrac{2ab}{a + b}}} = \dfrac{0 + f\left( b \right)}{{\dfrac{2ab}{a + b} - b}}$，化简得 $\dfrac{f\left( a \right)}{a} = \dfrac{f\left( b \right)}{b}$，故可选择 $f\left( x \right) = x $．
题目
答案
解析
备注
