本题需要先消元，得到 $|2a+b|$ 的表达式，然后考虑取到最大时的情况，最终求得式子的最小值．由 $4{a^2} - 2ab + 4{b^2} - c = 0$，得\[\dfrac{c}{4} = {a^2} - \dfrac{1}{2}ab + {b^2} = {\left( {a - \dfrac{b}{4}} \right)^2} + \dfrac{{15{b^2}}}{16}.\]由柯西不等式，得\[\begin{split}&\left[ {{{\left( {a - \dfrac{b}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt {15} b}}{4}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {{2^2} + {{\left( {\dfrac{6}{{\sqrt {15} }}} \right)}^2}} \right] \\&\geqslant {\left[ {\left( {2a - \dfrac{b}{2}} \right) + \dfrac{3b}{2}} \right]^2}\\& = {\left( {2a + b} \right)^2},\end{split}\]当且仅当 $\dfrac{{a - \frac{b}{4}}}{2} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {15} b}}{4}}}{{\frac{6}{{\sqrt {15} }}}}$，即 $a = \dfrac{3}{2}b$，$c = 10{b^2}$ 时取等号．
从而 $\dfrac{3}{a} - \dfrac{4}{b} + \dfrac{5}{c} = \dfrac{2}{b} - \dfrac{4}{b} + \dfrac{1}{{2{b^2}}} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{b} - 2} \right)^2} - 2$，
所以，当 $b=\dfrac 12$，$a=\dfrac 34$，$c=\dfrac 52 $ 时，$\dfrac{3}{a} - \dfrac{4}{b} + \dfrac{5}{c}$ 取得最小值 $ -2$．