过点 $\left(3,1\right)$ 作圆 ${\left(x - 2\right)^2} + {\left(y - 2\right)^2} = 4$ 的弦，其中最短弦的长为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（文）
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2 $
【解析】
本题考查直线与圆相交问题．过圆内一点的所有弦中以该点为中点的弦最短．过点 $\left(3,1\right)$ 的圆的最短弦是以 $\left(3,1\right)$ 为中点的弦，由垂径定理可知，圆心与弦中点的连线垂直与弦，且平分弦，故弦心距 $d=\sqrt {\left(2-3\right)^2+\left(2-1\right)^2}=\sqrt 2$，又圆的半径 $r$ 为 $2$，设弦长为 $l$，则 $l=2\sqrt {r^2-d^2}=2\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
