此题是新定义的一个函数，对于新定义题，需要紧扣定义，故而四个选项中都需要讨论 $a$，$b$ 的取值情况，从而计算相应的“正对数”① 当 $a > 1$ 时，因为 $b > 0$，所以 ${a^b} > 1$，从而\[{\ln ^ + }\left( {a^b} \right) = \ln {a^b} \overset{\left[a\right]}= b\ln a = b{\ln ^ + }a.\]（推导中用到：[a]）
当 $0 < a < 1$ 时，因为 $b > 0$，所以 $0<{a^b} < 1$，从而 ${\ln ^ + }\left( {a^b} \right) = 0$．
又 ${\ln ^ + }a = 0$，所以 $b{\ln ^ + }a = 0$，从而\[{\ln ^ + }\left( {a^b} \right) = b{\ln ^ + }a.\]故 ① 正确．
② 当 $a = 2,b = \dfrac{1}{4}$ 时，${\ln ^ + }\left( {ab} \right) = {\ln ^ + }\dfrac{1}{2} = 0$，而\[{\ln ^ + }a = \ln 2,{\ln ^ + }b = 0,\]从而 ${\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b = \ln 2\ne \ln ^+\left(ab\right)$，故 ② 不成立．
③ a．当 $0 < a \leqslant 1,0 < b \leqslant 1$ 时，${\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b = 0 - 0 = 0$，而 ${\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant 0$，所以\[{\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b.\]b．当 $0 < a \leqslant 1,b > 1$ 时，${\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b = - {\ln ^ + }b < 0$，而 ${\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) = 0$，所以\[{\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b.\]c．当 $a > 1,0 < b \leqslant 1$ 时，$\dfrac{a}{b} \geqslant a > 1$，所以\[{\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) = \ln \left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant \ln a = {\ln ^ + }a = {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b.\]d．当 $a > 1,b > 1$，且 $a < b$ 时，${\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) = 0,{\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b < 0$，所以\[{\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b.\]e．当 $a > 1,b > 1$，且 $a > b$ 时，$\dfrac{a}{b} > 1$，所以\[{\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) = \ln \left( {\dfrac{a}{b}} \right) = \ln a - \ln b = {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b.\]综上：${\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b$，故 ③ 正确．
④ a．当 $0 < a + b \leqslant 1$ 时，$0 < a \leqslant 1,0 < b \leqslant 1$，所以 ${\ln ^ + }\left( {a + b} \right) = 0$，\[{\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2 = 0 + 0 + \ln 2 > 0,\]从而\[{\ln ^ + }\left( {a + b} \right) < {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2.\]b．当 $a + b > 1$ 时，分以下三种情况：
（i）当 $0 < a \leqslant 1,b \geqslant 1$ 时，因为 $a + b \leqslant 1 + b \leqslant b + b = 2b$，所以\[\begin{split} {\ln ^ + }\left( {a + b} \right) &= \ln \left( {a + b} \right) \\ & \leqslant \ln 2b \\ & = {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2.\end{split} \]（ii）当 $a \geqslant 1,0 < b \leqslant 1$ 时，因为 $a + b \leqslant 1 + a \leqslant a + a = 2a$，所以\[\begin{split} {\ln ^ + }\left( {a + b} \right) &= \ln \left( {a + b} \right) \\ & \leqslant \ln 2a \\ & = \ln a + \ln 2 \\ & = {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2.\end{split} \]（iii）当 $0 < a \leqslant 1,0 < b \leqslant 1$ 时，有 $a + b \leqslant 2$，且 ${\ln ^ + }a = 0,{\ln ^ + }b = 0$．所以\[\begin{split} {\ln ^ + }\left( {a + b} \right) &= \ln \left( {a + b} \right) \\ & \leqslant \ln 2 \\ & = {\ln ^ + } a + {\ln ^ + }b + \ln 2.\end{split} \]综上：${\ln ^ + }\left( {a + b} \right) \leqslant {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2$，故 ④ 正确．