本题主要考查了解三角形，图形中有多个三角形，选择 $ED$ 所在的一个三角形，将其利用正弦定理或余弦定理所需要的元素求出．计算过程中可以利用矩形中角之间的关系，而且巧用直角三角形求出三角函数值．因为 $AB = \sqrt 3 ,BC = 3$，所以 $AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3$，$\tan \angle BAC = \dfrac{3}{\sqrt 3 } = \sqrt 3 $，又 $0<\angle BAC<\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，所以 $\angle BAC = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$，故 $\angle EAD=\dfrac{\mathrm \pi} {6}$．在 ${\mathrm{Rt}} \triangle BAE$ 中，$AE = AB\cos \dfrac{\mathrm \pi} {3} = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$．在 $\triangle AED$ 中，由余弦定理得\[\begin{split} D{E^2} &= A{E^2} + A{D^2} - 2AE \cdot AD\cos \angle EAD \\ & = {\left( {\dfrac{\sqrt 3 }{2}} \right)^2} + {\left( 3 \right)^2} - 2 \times \dfrac{\sqrt 3 }{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ & = \dfrac{21}{4},\end{split} \]故 $DE = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}$．