设 $0 \leqslant \alpha \leqslant {\mathrm \pi} $，不等式 $8{x^2} - \left(8\sin \alpha \right)x + \cos 2\alpha \geqslant 0$ 对 $x \in {\mathbb{R}}$ 恒成立，则 $\alpha $ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考重庆卷（文）
【标注】
【答案】
$\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6},{\mathrm \pi} } \right]$
【解析】
原不等式恒成立可以考虑二次函数判别式进行转化，得到三角不等式，借助三角函数性质求解．由题意，得 $\Delta = 64{\sin ^2}\alpha - 32\cos 2\alpha \leqslant 0$，化简得 $\cos 2\alpha \geqslant \dfrac{1}{2}$，又 $0 \leqslant \alpha \leqslant {\mathrm \pi} $，所以解 $\cos 2\alpha \geqslant \dfrac{1}{2}$ 得 $0 \leqslant 2\alpha \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 或 $\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{3} \leqslant 2\alpha \leqslant 2{\mathrm \pi} $，即 $0 \leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {6}$ 或 $\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6} \leqslant \alpha \leqslant {\mathrm \pi} $．
题目
答案
解析
备注
