已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK = \dfrac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^\circ $，则球 $O$ 的表面积等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$16{\mathrm \pi} $
【解析】
本题考查球中的大圆与小圆问题，注意到球心与圆心连线垂直于圆面，圆心与弦中点的连线垂直于弦．如图所示，公共弦为 $AB$，设球的半径为 $R$，则 $AB = R$．
取 $AB$ 中点 $M$，连接 $OM$，$KM$，由圆的性质知 $OM \perp AB$，$KM \perp AB$，所以 $\angle KMO$ 为圆 $O$ 与圆 $K$ 所在平面所成的二面角的平面角，则 $\angle KMO = 60^\circ $．
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle KMO$ 中，$OK = \dfrac{3}{2}$，所以 $OM = \dfrac{OK}{\sin 60^\circ } = \sqrt 3. $
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle OAM$ 中，因为 $O{A^2} = O{M^2} + A{M^2}$，所以 ${R^2} = 3 + \dfrac{1}{4}{R^2},$
解得 ${R^2} = 4$，所以球 $O$ 的表面积为 $4{\mathrm \pi} {R^2} = 16{\mathrm \pi} $．
取 $AB$ 中点 $M$，连接 $OM$，$KM$，由圆的性质知 $OM \perp AB$，$KM \perp AB$，所以 $\angle KMO$ 为圆 $O$ 与圆 $K$ 所在平面所成的二面角的平面角，则 $\angle KMO = 60^\circ $．
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle KMO$ 中，$OK = \dfrac{3}{2}$，所以 $OM = \dfrac{OK}{\sin 60^\circ } = \sqrt 3. $
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle OAM$ 中，因为 $O{A^2} = O{M^2} + A{M^2}$，所以 ${R^2} = 3 + \dfrac{1}{4}{R^2},$
解得 ${R^2} = 4$，所以球 $O$ 的表面积为 $4{\mathrm \pi} {R^2} = 16{\mathrm \pi} $．
题目
答案
解析
备注
