已知函数 $f\left(x\right)={\left|{\ln x}\right|}$，$g\left(x\right)=\begin{cases}0,&0<x\leqslant 1,\\ {\left|{x^2-4}\right|}-2,&x>1,\end{cases}$ 则方程 ${\left|{f\left(x\right)+g\left(x\right)}\right|}=1$ 实根的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
此题求函数 $y=f(x)+g(x)$ 和直线 $y=1$ 及 $y=-1$ 的交点个数即可．方程 ${\left|{f\left(x\right)+g\left(x\right)}\right|}=1$ 即 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=1$ 或 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=-1$．
① 当 $0<x\leqslant 1$ 时，方程为 $-\ln x=1$，解得 $x=\dfrac 1{\mathrm e}$．
② 当 $1<x<2$ 时，$f\left(x\right)+g\left(x\right)=\ln x+2-x^2$ 单调递减，值域为 $\left(\ln 2-2,1\right)$，因为 $\ln 2-2<-1<1$，所以方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=1$ 无解，方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=-1$ 恰有一解．
③ 当 $x\geqslant 2$ 时，$f\left(x\right)+g\left(x\right)=\ln x+x^2-6$ 单调递增，值域为 $\left[\ln 2-2,+\infty\right)$，因为 $\ln 2-2<-1<1$，所以方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=1$ 恰有一解，方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=-1$ 也恰有一解．
综上所述，原方程有 $4$ 个实根．
① 当 $0<x\leqslant 1$ 时，方程为 $-\ln x=1$，解得 $x=\dfrac 1{\mathrm e}$．
② 当 $1<x<2$ 时，$f\left(x\right)+g\left(x\right)=\ln x+2-x^2$ 单调递减，值域为 $\left(\ln 2-2,1\right)$，因为 $\ln 2-2<-1<1$，所以方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=1$ 无解，方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=-1$ 恰有一解．
③ 当 $x\geqslant 2$ 时，$f\left(x\right)+g\left(x\right)=\ln x+x^2-6$ 单调递增，值域为 $\left[\ln 2-2,+\infty\right)$，因为 $\ln 2-2<-1<1$，所以方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=1$ 恰有一解，方程 $f\left(x\right)+g\left(x\right)=-1$ 也恰有一解．
综上所述，原方程有 $4$ 个实根．
题目
答案
解析
备注
