在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A\left( { - 1,0} \right),B\left( {0,\sqrt 3 } \right),C\left( {3,0} \right)$，动点 $D$ 满足 $\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = 1$，则 $\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1 + \sqrt 7 $
【解析】
本题的关键在于动点 $D$ 的轨迹和 $\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right|$ 的几何意义．设 $ D\left(x,y\right)$，则由 $\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = 1$ 可得\[ \left(x-3\right)^2+y^2=1 .\]即 $D$ 点是圆上的任意一点．
又因为\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} =\left(x-1,y+\sqrt3\right),\]所以可得\[\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right| =\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+\sqrt3\right)^2} .\]这个式子表示点 $D$ 和点 $P\left(1,-\sqrt 3\right)$ 之间的距离，由点与圆的位置关系可得 $ |PD|\leqslant \sqrt 7+1$．
又因为\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} =\left(x-1,y+\sqrt3\right),\]所以可得\[\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right| =\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+\sqrt3\right)^2} .\]这个式子表示点 $D$ 和点 $P\left(1,-\sqrt 3\right)$ 之间的距离，由点与圆的位置关系可得 $ |PD|\leqslant \sqrt 7+1$．
题目
答案
解析
备注
