设当 $x = \theta $ 时，函数 $f\left( x \right) = \sin x - 2\cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ - \dfrac{2\sqrt 5 }{5}$
【解析】
本题考查三角函数的性质和辅助角公式．根据辅助角公式，将函数的解析式变形为正弦型即可．由辅助角公式得\[\begin{split}f\left( x \right) &= \sin x - 2\cos x\\&=\sqrt5\left(\dfrac1{\sqrt5}\sin x -\dfrac2{\sqrt5}\cos x\right)\\&=\sqrt5\sin\left(x-\alpha\right)\end{split}\]其中 $\alpha$ 的终边过点 $\left(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\right)$，
所以 $f\left( x \right)$ 的最大值为 $\sqrt5$，即 $ \sin\theta - 2\cos \theta=\sqrt5$．
又 $\sin^2\theta+\cos^2 \theta=1$，联立解得 $ \cos \theta=- \dfrac{2\sqrt 5 }{5}$．
所以 $f\left( x \right)$ 的最大值为 $\sqrt5$，即 $ \sin\theta - 2\cos \theta=\sqrt5$．
又 $\sin^2\theta+\cos^2 \theta=1$，联立解得 $ \cos \theta=- \dfrac{2\sqrt 5 }{5}$．
题目
答案
解析
备注
