本题考查等差数列的基本量法，利用条件列方程，求解等差数列通项，再研究所求的 $n{S_n}$．设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的首项为 ${a_1}$，公差为 $d$，由等差数列前 $n$ 项和公式可得\[{\begin{cases}
10{a_1} + \dfrac{10 \times 9}{2}d = 0, \\
15{a_1} + \dfrac{15 \times 14}{2}d = 25, \\
\end{cases}}\]解得\[{\begin{cases}{a_1} = - 3, \\
d = \dfrac{2}{3} .\\
\end{cases}}\]所以\[\begin{split}n{S_n} &\overset{\left[a\right]}= {n^2}{a_1} + \dfrac{{{n^2}\left( {n - 1} \right)}}{2}d \\&= - 3{n^2} + \dfrac{1}{3}\left( {{n^3} - {n^2}} \right) \\&= \dfrac{1}{3}{n^3} - \dfrac{{10{n^2}}}{3},\end{split}\]（推导中用到[a]）
令 $f\left(x\right)=\dfrac 13x^3-\dfrac{10}{3}x^2$，则\[f'\left(x\right)=x^2-\dfrac{20}{3}x=\dfrac 13x\left(3x-20\right).\]当 $x > \dfrac{20}{3}$ 时，$f\left(x\right)$ 是单调递增的；当 $0 < x < \dfrac{20}{3}$ 时，$f\left(x\right)$ 是单调递减的．
又 $6S_6=-48,7S_7=-49$，故当 $n = 7$ 时，$n{S_n}$ 取最小值，为 $-49$．