本题考查三角函数的图象平移相关知识．对应名称不同的三角函数的平移问题，首先应根据诱导公式将三角函数的名称化为相同．$y = \cos \left(2x + \varphi \right)$ 的图象向右平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 个单位得到 $y = \cos \left[ {2\left( {x - \dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right) + \varphi } \right]$ 的图象，整理得\[y = \cos \left(2x - {\mathrm \pi} + \varphi \right).\]因为其图象与 $y = \sin \left( {2x + \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right)$ 的图象重合，所以由诱导公式知\[\varphi - {\mathrm \pi} = \dfrac{\mathrm \pi} {3} - \dfrac{\mathrm \pi} {2} + 2k{\mathrm \pi} ,k\in {\mathbb Z},\]解得\[\varphi = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6} + 2k{\mathrm \pi} ,k\in {\mathbb Z},\]又因为 $ - {\mathrm \pi} \leqslant \varphi < {\mathrm \pi} $，所以\[\varphi = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}.\]