设点 $M\left( {{x_0},1} \right)$，若在圆 $O:{x^2} + {y^2} = 1$ 上存在点 $N$，使得 $\angle OMN = 45^\circ $，则 ${x_0}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[ { - 1,1} \right]$
【解析】
从 $M$ 引两条切线，则两条切线的夹角是圆上的任意两点与 $M$ 连线的夹角中最大的角，若两条切线的夹角大于等于 $90^\circ$，则存在满足题意的 $N$，故可以先求出两条切线的夹角等于 $90^\circ$，即 $\angle OMN=45^\circ$ 时的 $x_0$，即可解决问题．在 $ \triangle OMN$ 中，由正弦定理，得\[ \dfrac {|ON|}{\sin \angle OMN}=\dfrac {|OM|}{\sin \angle ONM} ,\]即 $ {|OM|}{\sin 45^\circ}=1\times \sin \angle ONM $．
因为 $ \sin \angle ONM\leqslant 1 $，所以 $ {|OM|}\leqslant \sqrt 2 $，
即 $\sqrt {x_0^2+1}\leqslant \sqrt 2 $，解得 $ -1\leqslant x_0\leqslant 1$．
因为 $ \sin \angle ONM\leqslant 1 $，所以 $ {|OM|}\leqslant \sqrt 2 $，
即 $\sqrt {x_0^2+1}\leqslant \sqrt 2 $，解得 $ -1\leqslant x_0\leqslant 1$．
题目
答案
解析
备注
