数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 满足 ${a_{n + 1}} = \dfrac{1}{{1 - {a_n}}}$，${a_8} = 2$，则 ${a_1} = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【解析】
可利用递推公式，由 $a_8$ 逐步计算 $a_7$、$a_6$、$a_5$ 观察数列规律．因为\[\begin{split}{a_{n + 1}} &= \dfrac{1}{{1 - {a_n}}} \\&= \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{{1 - {a_{n - 1}}}}}} \\&= 1 - \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}} \\&= 1 - \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{1 - {a_{n - 2}}}}}} \\&= {a_{n - 2}},\end{split}\]所以数列 $\left\{a_n\right\} $ 是以 $ 3 $ 为周期的周期数列．
于是 $2={a_8} = {a_2} = \dfrac{1}{{1 - {a_1}}}$，解得 ${a_1} = \dfrac{1}{2}$．
于是 $2={a_8} = {a_2} = \dfrac{1}{{1 - {a_1}}}$，解得 ${a_1} = \dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
