过点 $M\left(1,1\right)$ 作斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ 的直线与椭圆 $C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left(a>b>0\right)$ 相交于 $A$，$B$ 两点，若 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，则椭圆 $C$ 的离心率等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 2 }{2}$
【解析】
已知圆锥曲线弦的中点可以考虑使用点差法，得到弦的斜率、中点和曲线方程参数所满足的等式，进而求解．设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，则\[\begin{split}&\dfrac{{{x_1}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y_1}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\\&\dfrac{{{x_2}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y_2}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\end{split}\]两式相减得 $b^2\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=-a^2\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)$，即 $k_{AB} \cdot k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}$．所以 $-\dfrac{1}{2}\cdot1=-\dfrac{b^2}{a^2}$．又 $c^2=a^2-b^2$，所以离心率等于 $\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
题目
答案
解析
备注
