设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( {a > b > 0} \right)$ 的左右焦点为 ${F_1} , {F_2}$，过 ${F_2}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 相交于 $A $，$ B$ 两点，${F_1}B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$，若 $AD \perp {F_1}B$，则椭圆 $C$ 的离心率等于 ．
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3 }{3}$
【解析】
本题考查离心率的计算，根据条件建立相应方程进行求解．容易求得\[\left| {AB} \right| = \dfrac{{2{b^2}}}{a},\]由椭圆的定义可知：\[\left| {A{F_1}} \right| = 2a - \dfrac{b^2}{a},\]因为 $OD\parallel AB$，$O$ 为 $F_1F_2$ 的中点，所以 $D$ 为 $F_1B$ 的中点．又 $AD \perp {F_1}B$，则 $|A{F_1}| = |AB|$，即\[\dfrac{{2{b^2}}}{a} = 2a - \dfrac{b^2}{a},\]得\[\dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{2}{3},\]又离心率 $e = \dfrac{c}{a}$，结合 ${a^2} = {b^2} + {c^2}$，得 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{3}$．
题目
答案
解析
备注
