已知 $x , y \in {\mathbb{R}}$，若 $\left| x \right| + \left| y \right| + \left| {x - 1} \right| + \left| {y - 1} \right| \leqslant 2$，则 $x + y$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[0 , 2\right]$
【解析】
可以分别考虑绝对值不等式中 $x$，$y$ 的取值，找到解决问题的突破口．根据绝对值三角不等式知：\[\left| x \right| + \left| {x - 1} \right| \geqslant 1,\]当且仅当 $x\in \left[0,1\right] $ 时取等号；同理\[\left| y \right| + \left| {y - 1} \right| \geqslant 1,\]当且仅当 $y\in \left[0,1\right] $ 时取等号，
所以 $\left| x \right| + \left| {x - 1} \right|+\left| y \right| + \left| {y - 1} \right|\geqslant 2$．
而已知 $\left| x \right| + \left| {x - 1} \right| + \left| y \right| + \left| {y - 1} \right| \leqslant 2,$
所以只能 $\left| x \right| + \left| {x - 1} \right| + \left| y \right| + \left| {y - 1} \right| = 2,$
此时 $x\in \left[0,1\right],y\in \left[0,1\right] ,$ 所以 $x+y\in \left[0,2\right]. $
所以 $\left| x \right| + \left| {x - 1} \right|+\left| y \right| + \left| {y - 1} \right|\geqslant 2$．
而已知 $\left| x \right| + \left| {x - 1} \right| + \left| y \right| + \left| {y - 1} \right| \leqslant 2,$
所以只能 $\left| x \right| + \left| {x - 1} \right| + \left| y \right| + \left| {y - 1} \right| = 2,$
此时 $x\in \left[0,1\right],y\in \left[0,1\right] ,$ 所以 $x+y\in \left[0,2\right]. $
题目
答案
解析
备注
