本题主要考查均值不等式的应用，要考虑字母 $a,b$ 的符号法一：
由已知得\[\begin{split}\dfrac{1}{2\left| a \right|} + \dfrac{\left| a \right|}{b}&=\dfrac {a+b}{4|a|}+\dfrac {|a|}b\\ &=\dfrac a{4|a|}+\dfrac b{4|a|}+\dfrac {|a|}b\\ &\overset{\left[a\right]}\geqslant \dfrac a{4|a|}+2\sqrt {\dfrac b{4|a|}\cdot \dfrac {|a|}b}=\dfrac a{4|a|}+1.\end{split}\]（推导中用到[a]）
当 $ a<0$，$b=2|a|$ 时，取得最小值 $\dfrac 34 $．
法二：
当 $a > 0$ 时，\[\begin{split}\dfrac{1}{2 \left|a \right|} + \dfrac{ \left|a \right|}{b} &= \dfrac{1}{2a} + \dfrac{a}{b} \\&= \dfrac{a + b}{4a} + \dfrac{a}{b}\\&= \dfrac{1}{4} + \left( {\dfrac{b}{4a} + \dfrac{a}{b}} \right)\\&\overset{\left[a\right]}\geqslant \dfrac{5}{4},\end{split}\]（推导中用到[a]），当且仅当 $a=\dfrac2{3},b=\dfrac4{3}$ 时上式取等号；
当 $a < 0$ 时，\[\begin{split}\dfrac{1}{2 \left|a \right|} + \dfrac{ \left|a \right|}{b} &= \dfrac{1}{ - 2a} + \dfrac{ - a}{b}\\&= \dfrac{a + b}{ - 4a} + \dfrac{ - a}{b} \\&= - \dfrac{1}{4} + \left( {\dfrac{b}{ - 4a} + \dfrac{ - a}{b}} \right) \\&\overset{\left[a\right]}\geqslant \dfrac{3}{4}.\end{split}\]（推导中用到[a]），当且仅当 $a=-2,b=4$ 时上式取等号．
综上所述，$\dfrac{1}{2 \left|a \right|} + \dfrac{ \left|a \right|}{b}$ 的最小值是 $\dfrac{3}{4}$．