等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$．设甲：$q>0$，乙：$\{S_n\}$ 是递增数列，则 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2021高考数学全国甲卷理科真题及解析
【标注】
【答案】
B
【解析】
若 $q=1$，则 $S_n=na_1$．
① $a_1>0$，则 $\{S_n\}$ 单调递增；
② $a_1<0$，则 $\{S_n\}$ 单调递减．
所以甲 $\nRightarrow$ 乙．
又若 $\{S_n\}$ 单调递增，则 $S_{n+1}>S_n$ 恒成立．
所以 $a_{n+1}>0\Rightarrow a_1q^n>0$ 恒成立．
所以 $a_1>0,q>0$．
所以甲 $\Leftarrow$ 乙．
综上：甲 $\Leftarrow$ 乙．选B．
① $a_1>0$，则 $\{S_n\}$ 单调递增；
② $a_1<0$，则 $\{S_n\}$ 单调递减．
所以甲 $\nRightarrow$ 乙．
又若 $\{S_n\}$ 单调递增，则 $S_{n+1}>S_n$ 恒成立．
所以 $a_{n+1}>0\Rightarrow a_1q^n>0$ 恒成立．
所以 $a_1>0,q>0$．
所以甲 $\Leftarrow$ 乙．
综上：甲 $\Leftarrow$ 乙．选B．
题目
答案
解析
备注
