平面上一机器人在行进中始终保持与点 $F\left( {1 , 0} \right)$ 的距离和到直线 $x = - 1$ 的距离相等．若机器人接触不到过点 $P\left( { - 1 , 0} \right)$ 且斜率为 $k$ 的直线，则 $k$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)$
【解析】
得出机器人的运动轨迹是解决本题的关键．根据抛物线的定义，知机器人行进的轨迹是焦点为 $F\left(1,0\right)$ 的抛物线，方程为 $y^2=4x$．
机器人接触不到过点 $P\left(-1,0\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $y=k\left(x+1\right)$，即表示此直线与抛物线没有公共点，联立直线与抛物线方程，得\[\begin{cases}y=k\left(x+1\right),\\y^2=4x,\end{cases}\]整理得\[k^2x^2+\left(2k^2-4\right)x+k^2=0,\]因此，\[\Delta=\left(2k^2-4\right)^2-4k^4<0,\]解得 $k>1$ 或 $k<-1$．
机器人接触不到过点 $P\left(-1,0\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $y=k\left(x+1\right)$，即表示此直线与抛物线没有公共点，联立直线与抛物线方程，得\[\begin{cases}y=k\left(x+1\right),\\y^2=4x,\end{cases}\]整理得\[k^2x^2+\left(2k^2-4\right)x+k^2=0,\]因此，\[\Delta=\left(2k^2-4\right)^2-4k^4<0,\]解得 $k>1$ 或 $k<-1$．
题目
答案
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备注
