本题考查函数的奇偶性，已知 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(1)=f(-1)$，求出 $a$ 的值，若唯一，即为答案，若不唯一，再带一个数进行求解．法一：函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\mathbb R$，所以由 $f\left(x\right)$ 是偶函数可得\[f\left(-1\right)=f\left(1\right).\]也即\[\ln\left({\mathrm{e}}^{-3}+1\right)-a=\ln\left({\mathrm{e}}^3+1\right)+a.\]结合对数的运算可解得\[a=-\dfrac 32.\]法二：根据偶函数的定义，得\[\ln \left( {{{\mathrm{e}}^{ - 3x}} + 1} \right) - ax = \ln \left( {{{\mathrm{e}}^{3x}} + 1} \right) + ax\]对于 $\forall x \in {\mathbb R}$ 恒成立，
由对数的运算可得\[\ln \dfrac{{{ {\mathrm{e}} ^{ - 3x}} + 1}}{{{{\mathrm{e}}^{3x}} + 1}} = 2ax,\]于是\[\dfrac{{{ {\mathrm{ e}} ^{ - 3x}} + 1}}{{{{\mathrm{e}}^{3x}} + 1}} = {{\mathrm{e}}^{2ax}},\]即\[{{\mathrm{e}}^{ - 3x}} + 1 = {{\mathrm{e}}^{2ax}} + {{\mathrm{e}}^{\left( {2a + 3} \right)x}}\]对于 $\forall x \in {\mathbb R}$ 恒成立，
则有\[\begin{cases}2a+3=0,\\2a=-3, \end{cases} 或 \begin{cases}2a=0,\\2a+3=-3,\end{cases} \]解得 $ a=-\dfrac 32$．