设函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}
2^x-a,&x<1,\\4\left(x-a\right)\left(x-2a\right),&x\geqslant1.
\end{cases}$
① 若 $a=1$,则 $f\left(x\right)$ 的最小值为 ;
② 若 $f\left(x\right)$ 恰有 $2$ 个零点,则实数 $a$ 的取值范围是 .
2^x-a,&x<1,\\4\left(x-a\right)\left(x-2a\right),&x\geqslant1.
\end{cases}$
① 若 $a=1$,则 $f\left(x\right)$ 的最小值为
② 若 $f\left(x\right)$ 恰有 $2$ 个零点,则实数 $a$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-1$;$\left\{a \left|\right. \dfrac12\leqslant a<1 或 a\geqslant2\right\}$
【解析】
做出分段函数的图象,分析零点个数与图象之间的关系.① 当 $a=1$ 时,$f\left(x\right)=\begin{cases}
2^x-1,&x<1,\\4\left(x-1\right)\left(x-2\right),&x\geqslant1.
\end{cases}$
当 $x<1$ 时,$f\left(x\right)\in\left(-1,1\right)$;
当 $x\geqslant1$ 时,$f\left(x\right)\in\left[-1,+\infty\right)$.
所以 $a=1$ 时,$f\left(x\right)$ 的最小值为 $-1$.
② 因为 $x<1$ 时,$f\left(x\right)=2^x-a$最多有一个零点$\log_2a$,所以 $f\left(x\right)$ 恰有 $2 $ 个零点可分为两种情况:
$x<1$ 时 $f\left(x\right)$ 无零点,$x\geqslant 1$ 时 $f\left(x\right)$ 有两个零点 $a,2a$;
$x<1$ 与 $x\geqslant 1$ 时 $f\left(x\right)$ 各有一个零点,分别为 $\log_2a$ 和 $2a$.
前者需满足\[\begin{cases}{\log_2}a\geqslant 1,\\a\geqslant 1,\end{cases}\]解得 $a\geqslant 2$;
后者需满足\[\begin{cases}{\log_2}a<1,\\a<1,\\2a\geqslant 1.\end{cases}\]解得 $\dfrac 12\leqslant a<1$.
综上知,$a$ 的取值范围是 $\left\{a \left|\right. \dfrac12\leqslant a<1 或 a\geqslant2\right\}$.
2^x-1,&x<1,\\4\left(x-1\right)\left(x-2\right),&x\geqslant1.
\end{cases}$
当 $x<1$ 时,$f\left(x\right)\in\left(-1,1\right)$;
当 $x\geqslant1$ 时,$f\left(x\right)\in\left[-1,+\infty\right)$.
所以 $a=1$ 时,$f\left(x\right)$ 的最小值为 $-1$.
② 因为 $x<1$ 时,$f\left(x\right)=2^x-a$最多有一个零点$\log_2a$,所以 $f\left(x\right)$ 恰有 $2 $ 个零点可分为两种情况:
$x<1$ 时 $f\left(x\right)$ 无零点,$x\geqslant 1$ 时 $f\left(x\right)$ 有两个零点 $a,2a$;
$x<1$ 与 $x\geqslant 1$ 时 $f\left(x\right)$ 各有一个零点,分别为 $\log_2a$ 和 $2a$.
前者需满足\[\begin{cases}{\log_2}a\geqslant 1,\\a\geqslant 1,\end{cases}\]解得 $a\geqslant 2$;
后者需满足\[\begin{cases}{\log_2}a<1,\\a<1,\\2a\geqslant 1.\end{cases}\]解得 $\dfrac 12\leqslant a<1$.
综上知,$a$ 的取值范围是 $\left\{a \left|\right. \dfrac12\leqslant a<1 或 a\geqslant2\right\}$.
题目
答案
解析
备注