设 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_1=-1$，$a_{n+1}=S_nS_{n+1}$，则 $S_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac 1n$
【解析】
由通项与前 $n$ 项和的关系可以将 $a_{n+1}=S_nS_{n+1}$ 中的 $a_{n+1}$ 去掉，只剩关于“和”的关系式，向所求目标靠拢．由 $a_{n+1}=S_nS_{n-1}$ 得，$S_{n+1}-S_n=S_nS_{n+1}$，所以\[\dfrac{1}{S_{n+1}}-\dfrac{1}{S_n}=-1,\]所以 $\left\{\dfrac{1}{S_n}\right\}$ 是首项为 $-1$ 公差为 $-1$ 的等差数列，所以 $\dfrac{1}{S_n}=-n$，则 $S_n=-\dfrac{1}{n}$．
题目
答案
解析
备注
