已知 $F$ 是双曲线 $C:x^2-\dfrac{y^2}{8}=1$ 的右焦点，$P$ 是 $C$ 左支上一点，$A\left(0,6\sqrt6\right)$，当 $\triangle APF$ 周长最小时，该三角形的面积为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$12\sqrt 6$
【解析】
$\triangle APF$ 的周长的计算，需要利用双曲线的定义，把问题转化成两点间（线段）距离最短的问题，从而计算出点 $P$ 的坐标，进而计算此时三角形的面积．由已知得 $ a^2=1$，$b^2=8 $，$c^2=9 $，所以 $c=3 $，设双曲线的左焦点为 $ F_0\left(-3,0\right) $，则 $\triangle APF$ 的周长为\[ \begin{split}|AF|+|AP|+|PF|&\overset{\left[a\right]}=15+|AP|+\left(|PF_0|+2a\right) \\&=17+|AP|+|PF|_0\\&\geqslant 17+|AF_0|\end{split}\]（当点 $ A $、$ P $、$F_0 $ 共线时取等号）．（推导中用到：$\left[a\right]$）
直线 $AF_0 $ 方程为 $ y=2\sqrt6\left(x+3\right)$，代入 $ x^2-\dfrac{y^2}{8}=1 $ 得 $ x^2+9x+14 =0$，解得 $x_P=-2 $ 或 $x_P=-7 $（舍去），所以 $P\left(-2,2\sqrt6\right) $，所以\[\begin{split}S_{\triangle APF}&=\dfrac12\times 6\times {6\sqrt 6}-\
\dfrac 12 \times 6\times 2\sqrt 6 \\&=12\sqrt6\end{split}. \]
直线 $AF_0 $ 方程为 $ y=2\sqrt6\left(x+3\right)$，代入 $ x^2-\dfrac{y^2}{8}=1 $ 得 $ x^2+9x+14 =0$，解得 $x_P=-2 $ 或 $x_P=-7 $（舍去），所以 $P\left(-2,2\sqrt6\right) $，所以\[\begin{split}S_{\triangle APF}&=\dfrac12\times 6\times {6\sqrt 6}-\
\dfrac 12 \times 6\times 2\sqrt 6 \\&=12\sqrt6\end{split}. \]
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