已知 $a>0$，$b>0$，$ab=8$，则当 $a$ 的值为 时，${\log_2}a\cdot {\log_2}{\left(2b\right)}$ 取得最大值．
【难度】
【出处】
2015年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
先由已知条件消参，再配方求最值．\[\begin{split}{\log_2}a\cdot {\log_2}{\left(2b\right)}&=\log_2a\cdot \log_2\left(\dfrac{16}a\right)\\&\overset{\left[a\right]}=\log_2a\left(4-\log_2a\right)\\&=-\left(\log_2a-2\right)^2+4.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$）
当且仅当 $ \log_2a=2 $，即 $ a=4 $ 时，${\log_2}a\cdot {\log_2}{\left(2b\right)}$ 取得最大值 $ 4 $．
当且仅当 $ \log_2a=2 $，即 $ a=4 $ 时，${\log_2}a\cdot {\log_2}{\left(2b\right)}$ 取得最大值 $ 4 $．
题目
答案
解析
备注
