已知函数 $f\left(x\right)=\sin {\omega x}+\cos {\omega x}\left(\omega>0\right)$，$x\in \mathbb R$，若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(-\omega,\omega\right)$ 内单调递增，且函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega $ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt {\mathrm \pi} }{2}$
【解析】
本题主要考查三角函数的对称性、最值、周期性，其中还涉及辅助角公式，综合性较强．$ f\left(x\right)=\sqrt 2\sin\left(\omega x+\dfrac{\mathrm \pi} 4\right) $，由题意知 $ f\left(\omega\right) $ 必为函数的最大值，所以 $ \omega^2+\dfrac{\mathrm \pi} 4=\dfrac {\mathrm \pi} 2+2k{\mathrm \pi} ,k\in {\mathbb {Z}} $，即\[ \omega^2=\dfrac {\mathrm \pi} 4+2k{\mathrm \pi} ,k\in {\mathbb {Z}}. \]又 $\omega-\left(-\omega\right)\leqslant \dfrac{\frac{2{\mathrm \pi} }{\omega}}2$，即 $ \omega^2\leqslant \dfrac{\mathrm \pi} 2 $，所以 $ \omega^2=\dfrac{\mathrm \pi} 4 $，所以 $ \omega=\dfrac{\sqrt{\mathrm \pi} }2 $．
题目
答案
解析
备注
