已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点 $\left(1,1\right)$ 处的切线与曲线 $y=ax^2+\left(a+2\right)x+1$ 相切，则 $a=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
本题主要考查导数的几何意义，两条曲线有公切线，故可以先求 $y=x+\ln x$ 的切线，然后建立等式关系，即可解得 $a$ 的值．可求函数 $y=x+\ln x$ 在点 $\left(1,1\right)$ 处的切线方程为 $ y=2x-1 $．
设直线 $ y=2x-1 $ 与曲线 $y=ax^2+\left(a+2\right)x+1$ 的切点为 $ \left(x_0,y_0\right) $，
又 $y'=2ax+\left(a+2\right) $，所以 $ 2ax_0+\left(a+2\right)=2 $，即 $ a\left(2x_0+1\right)=0 $．
经检验当 $ a=0 $ 时不成立，所以 $ a\ne0 $．
所以 $x_0=-\dfrac12 $，所以 $ y_0=-2 $．
代入函数 $y=ax^2+\left(a+2\right)x+1$ 得 $a=8 $．
设直线 $ y=2x-1 $ 与曲线 $y=ax^2+\left(a+2\right)x+1$ 的切点为 $ \left(x_0,y_0\right) $，
又 $y'=2ax+\left(a+2\right) $，所以 $ 2ax_0+\left(a+2\right)=2 $，即 $ a\left(2x_0+1\right)=0 $．
经检验当 $ a=0 $ 时不成立，所以 $ a\ne0 $．
所以 $x_0=-\dfrac12 $，所以 $ y_0=-2 $．
代入函数 $y=ax^2+\left(a+2\right)x+1$ 得 $a=8 $．
题目
答案
解析
备注
