设 $0 < \theta < \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，向量 $\overrightarrow a = \left(\sin 2\theta ,\cos \theta \right)$，$\overrightarrow b = \left(1, - \cos \theta \right)$，若 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$，则 $\tan \theta = $ ．
【难度】
【出处】
2014年高考陕西卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【解析】
先利用数量积的坐标公式得到关于 $\theta$ 的方程，然后利用二倍角公式及同角基本关系式求得 $\tan \theta$．根据向量的数量积可得\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\sin 2\theta-\cos ^2\theta=0,\]即 $2\sin \theta\cos \theta -\cos ^2\theta=0$，因为 $0 < \theta < \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，所以 $\cos \theta \ne 0$，所以\[2\sin \theta-\cos \theta=0,\]所以 $\tan \theta =\dfrac {\sin \theta}{\cos \theta}=\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
