先用正弦定理角化边，得到 $a,b,c$ 三者的关系，然后用余弦定理表示出 $\cos C$，最后利用均值定理求最值．由 $\sin A + \sqrt 2 \sin B = 2\sin C$，结合正弦定理得\[a+\sqrt 2b=2c.\]由余弦定理得\[\begin{split}\cos C&=\dfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}\\&=\dfrac {\dfrac 34a^2+\dfrac 12b^2-\dfrac {\sqrt 2}2ab}{2ab}\\ &\overset{\left[a\right]}\geqslant \dfrac {2\sqrt {\left(\dfrac 34a^2\right)\left(\dfrac 12b^2\right)}-\dfrac {\sqrt 2}2ab}{2ab}\\&=\dfrac {\sqrt 6-\sqrt 2}4.\end{split}\]（推导中用到：[a]）
当且仅当 $\dfrac 34a^2=\dfrac 12b^2$ 时等号成立，所以 $\cos C$ 的最小值为 $\dfrac {\sqrt 6-\sqrt 2}4$．