设 ${F_1}$，${F_2}$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > 0,b > 0\right)$ 的两个焦点，若在 $C$ 上存在一点 $P$，使 $P{F_1} \perp P{F_2}$，且 $\angle P{F_1}{F_2} = 30^\circ $，则 $C$ 的离心率为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$\sqrt 3 + 1$
【解析】
焦点三角形问题通常会利用圆锥曲线的定义解决．本题可通过 $\triangle PF_1F_2$ 为 $30^{\circ}$ 的直角三角形得到三边的关系，然后再利用双曲线定义解出 $a,c$ 的关系，继而求出离心率．由题可知，$\triangle PF_1F_2$ 为直角三角形，且 $\angle F_1PF_2=90^\circ$，$\angle
PF_1F_2=30^\circ$，$F_1F_2=2c$，因此，$PF_1=\sqrt3c$，$PF_2=c$．
根据双曲线的定义，得 $PF_1-PF_2=2a$，即\[\sqrt3c-c=2a,\]整理得，离心率$e=\sqrt3+1$．
PF_1F_2=30^\circ$，$F_1F_2=2c$，因此，$PF_1=\sqrt3c$，$PF_2=c$．
根据双曲线的定义，得 $PF_1-PF_2=2a$，即\[\sqrt3c-c=2a,\]整理得，离心率$e=\sqrt3+1$．
题目
答案
解析
备注
