对于 $E = \left\{ {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{100}}} \right\}$ 的子集 $X = \left\{ {{a_{i_1}},{a_{i_2}}, \cdots ,{a_{i_k}}} \right\}$，定义 $X$ 的“特征数列”为 ${x_1},{x_2} ,\cdots, {x_{100}}$，其中 ${x_{i_1}} = {x_{i_2}} = \cdot \cdot \cdot = {x_{i_k}} = 1$，其余项均为 $ 0 $，例如：子集 $\left\{ {{a_2},{a_3}} \right\}$ 的“特征数列”为 $ 0,1,1,0,0,\cdots,0 $．
（1）子集 $\left\{ {{a_1},{a_3},{a_5}} \right\}$ 的“特征数列”的前 $ 3 $ 项和等于 ．
（2）若 $E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”${p_1},{p_2},\cdots,{p_{100}}$ 满足 ${p_1} = 1,{p_i} + {p_{i + 1}} = 1,1 \leqslant i \leqslant 99$，$E$ 的子集 $Q$ 的"特征数列" ${q_1},{q_2},\cdots,{q_{100}}$ 满足 ${q_1} = 1,{q_j} + {q_{j + 1}} + {q_{j + 2}} = 1,1 \leqslant j \leqslant 98$，则 $P \cap Q$ 的元素个数为 ．
（1）子集 $\left\{ {{a_1},{a_3},{a_5}} \right\}$ 的“特征数列”的前 $ 3 $ 项和等于
（2）若 $E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”${p_1},{p_2},\cdots,{p_{100}}$ 满足 ${p_1} = 1,{p_i} + {p_{i + 1}} = 1,1 \leqslant i \leqslant 99$，$E$ 的子集 $Q$ 的"特征数列" ${q_1},{q_2},\cdots,{q_{100}}$ 满足 ${q_1} = 1,{q_j} + {q_{j + 1}} + {q_{j + 2}} = 1,1 \leqslant j \leqslant 98$，则 $P \cap Q$ 的元素个数为
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$ 2$；$17 $
【解析】
对于第（2）问，可由条件得知集合 $P$ 的特征数列中元素 $1,0$ 交替出现，而集合 $Q$ 的特征数列中 $1,0,0$ 循环出现．根据这个特征求出集合 $P$ 和 $Q$，进而求得它们的交集中的元素个数．（1）子集$\left\{ {{a_1},{a_3},{a_5}} \right\}$ 的“特征数列”中 $x_1=x_3=x_5=1$，其余均为 $ 0 $，该数列为\[ 1,0,1,0,1,0,0,\cdots ,0, \]故该数列前 $ 3 $ 项的和为 $ 2 $．
（2）$E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”${p_1},{p_2}, \cdots ,{p_{100}}$ 中，由于\[{p_1} = 1,{p_i} + {p_{i + 1}} = 1\left(1 \leqslant i \leqslant 99\right).\]因此集合 $P$ 中必含有元素 ${a_1}$．
又当 $i = 1$ 时，${p_1} + {p_2} = 1$，且 ${p_1} = 1$，故 ${p_2} = 0$．
同理可求得\[{p_3} = 1,{p_4} = 0,{p_5} = 1,{p_6} = 0, \cdots ,\]故 $E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”为 $ 1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots ,1,0 $，即\[P = \left\{ {{a_1},{a_3},{a_5},{a_7}, \cdots ,{a_{99}}} \right\}.\]$E$ 的子集 $Q$ 的“特征数列”${q_1},{q_2}, \cdots ,{q_{100}}$ 中，由于\[{q_1} = 1,{q_j} + {q_{j + 1}} + {q_{j + 2}} = 1\left(1 \leqslant j \leqslant 98\right),\]因此集合 $Q$ 中必含有元素 ${a_1}$．
又当 $j = 1$ 时，\[{q_1} + {q_2} + {q_3} = 1,\]当 $j = 2$ 时，\[{q_2} + {q_3} + {q_4} = 1,\]当 $j = 3$ 时，\[{q_3} + {q_4} + {q_5} = 1, \\ \cdots ,\]故\[{q_1} = 1,{q_2} = {q_3} = 0,{q_4} = 1,{q_5} = {q_6} = 0,{q_7} = 1, \cdots .\]所以 $E$ 的子集 $Q$ 的“特征数列”为\[ 1,0,0,1,0,0,1,0,0, \cdots ,0,1,\]即\[Q = \left\{ {{a_1},{a_4},{a_7},{a_{10}}, \cdots ,{a_{100}}} \right\}.\]因为 $100 = 1 + \left(n - 1\right) \times 3$，故 $n = 34$．
所以集合 $Q$ 中有 $ 34 $ 个元素，其下标为奇数的有 $ 17 $ 个．
因此\[P \cap Q = \left\{ {{a_1},{a_7},{a_{13}},{a_{19}}, \cdots ,{a_{97}}} \right\},\]共有 $ 17 $ 个元素．
（2）$E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”${p_1},{p_2}, \cdots ,{p_{100}}$ 中，由于\[{p_1} = 1,{p_i} + {p_{i + 1}} = 1\left(1 \leqslant i \leqslant 99\right).\]因此集合 $P$ 中必含有元素 ${a_1}$．
又当 $i = 1$ 时，${p_1} + {p_2} = 1$，且 ${p_1} = 1$，故 ${p_2} = 0$．
同理可求得\[{p_3} = 1,{p_4} = 0,{p_5} = 1,{p_6} = 0, \cdots ,\]故 $E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”为 $ 1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots ,1,0 $，即\[P = \left\{ {{a_1},{a_3},{a_5},{a_7}, \cdots ,{a_{99}}} \right\}.\]$E$ 的子集 $Q$ 的“特征数列”${q_1},{q_2}, \cdots ,{q_{100}}$ 中，由于\[{q_1} = 1,{q_j} + {q_{j + 1}} + {q_{j + 2}} = 1\left(1 \leqslant j \leqslant 98\right),\]因此集合 $Q$ 中必含有元素 ${a_1}$．
又当 $j = 1$ 时，\[{q_1} + {q_2} + {q_3} = 1,\]当 $j = 2$ 时，\[{q_2} + {q_3} + {q_4} = 1,\]当 $j = 3$ 时，\[{q_3} + {q_4} + {q_5} = 1, \\ \cdots ,\]故\[{q_1} = 1,{q_2} = {q_3} = 0,{q_4} = 1,{q_5} = {q_6} = 0,{q_7} = 1, \cdots .\]所以 $E$ 的子集 $Q$ 的“特征数列”为\[ 1,0,0,1,0,0,1,0,0, \cdots ,0,1,\]即\[Q = \left\{ {{a_1},{a_4},{a_7},{a_{10}}, \cdots ,{a_{100}}} \right\}.\]因为 $100 = 1 + \left(n - 1\right) \times 3$，故 $n = 34$．
所以集合 $Q$ 中有 $ 34 $ 个元素，其下标为奇数的有 $ 17 $ 个．
因此\[P \cap Q = \left\{ {{a_1},{a_7},{a_{13}},{a_{19}}, \cdots ,{a_{97}}} \right\},\]共有 $ 17 $ 个元素．
题目
答案
解析
备注
