设 $a,b \in {\mathbb{R}}$，若 $x \geqslant 0$ 时恒有 $0 \leqslant {x^4} - {x^3} + ax + b \leqslant { \left({x^2} - 1 \right)^2}$，则 $ab = $ ．
【难度】
【出处】
2013年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
$ - 1$
【解析】
注意利用特殊值 $1$ 构造不等式．观察 ${ \left({x^2} - 1 \right)^2} $，可知 $ x=1 $ 时\[ { \left({x^2} - 1 \right)^2}=0.\]当 $ x=1 $ 时，将 $ 1 $ 代入不等式有 $ 0\leqslant a+b\leqslant 0 $，所以\[ a+b=0 .\]令 $ f\left(x\right)=x^4-x^3+ax+b $，得\[ f\left(1\right)=a+b=0 .\]又 $ x\geqslant 0 $ 时恒有\[ 0\leqslant x^4-x^3+ax+b ,\]结合 $ f\left(1\right)=0 $ 知，$ 1 $ 必为函数 $ f\left(x\right)=x^4-x^3+ax+b $ 的极小值点，也是最小值点．
故有 $ f′\left(1\right)=1+a=0 $，由此得 $ a=-1,b=1 $．
故 $ ab=-1 $．
故有 $ f′\left(1\right)=1+a=0 $，由此得 $ a=-1,b=1 $．
故 $ ab=-1 $．
题目
答案
解析
备注
