在平面直角坐标系中，若点 $P\left(x,y\right)$ 的坐标 $x$，$y$ 均为整数，则称点 $P$ 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 $S$，其内部的格点数记为 $N$，边界上的格点数记为 $L$．例如图中 $\triangle ABC$ 是格点三角形，对应的 $S = 1$，$N = 0$，$L = 4$．
（1）图中格点四边形 $DEFG$ 对应的 $S$，$N$，$L$ 分别是 ；
（2）已知格点多边形的面积可表示为 $S = aN + bL + c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为常数．若某格点多边形对应的 $N = 71$，$L = 18$，则 $S = $ （用数值作答）．
（1）图中格点四边形 $DEFG$ 对应的 $S$，$N$，$L$ 分别是
（2）已知格点多边形的面积可表示为 $S = aN + bL + c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为常数．若某格点多边形对应的 $N = 71$，$L = 18$，则 $S = $
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
（1）$ 3$，$1$，$6$；（2）$ 79 $
【解析】
本体是一道新定义的题型，需要根据题意求相关量，注意代特殊值．（1）由图可知，四边形 $DEFG$ 是直角梯形，高为 $\sqrt 2 $，下底为 $2\sqrt 2 $，上底为 $\sqrt 2 $，所以梯形面积\[S = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2\sqrt 2 } \right) \times \sqrt 2 }}{2} = 3,\]由图知，$N = 1$，$L = 6$．
（2）取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积 $S = 4$，$N = 1$，$L = 8$，结合 $\triangle ABC$、四边形 $DEFG$，可列方程组 ${\begin{cases}
4b + c = 1, \\
a + 6b + c = 3, \\
a + 8b + c = 4, \\
\end{cases}}$ 解得 ${\begin{cases}a = 1, \\
b = \dfrac{1}{2}, \\
c = - 1, \\
\end{cases}}$
故 $S = 1 \times 71 + \dfrac{1}{2} \times 18 - 1 = 79$．
（2）取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积 $S = 4$，$N = 1$，$L = 8$，结合 $\triangle ABC$、四边形 $DEFG$，可列方程组 ${\begin{cases}
4b + c = 1, \\
a + 6b + c = 3, \\
a + 8b + c = 4, \\
\end{cases}}$ 解得 ${\begin{cases}a = 1, \\
b = \dfrac{1}{2}, \\
c = - 1, \\
\end{cases}}$
故 $S = 1 \times 71 + \dfrac{1}{2} \times 18 - 1 = 79$．
题目
答案
解析
备注
