设 $x^3+ax+b=0$，其中 $a$，$b$ 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ．（写出所有正确条件的编号）
① $a=-3$，$b=-3$；② $a=-3$，$b=2$；③ $a=-3$，$b>2$；④ $a=0$，$b=2$；⑤ $a=1$，$b=2$．
① $a=-3$，$b=-3$；② $a=-3$，$b=2$；③ $a=-3$，$b>2$；④ $a=0$，$b=2$；⑤ $a=1$，$b=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③④⑤
【解析】
三次方程仅有一个实根等价于三次方程对应的函数单调或极小值大于零或极大值小于零．可以用导数求解．
令 $ f\left(x\right)=x^3+ax+b $，则 $ f'\left(x\right)=3x^2+a $．
当 $ a\geqslant 0 $ 时，$ f'\left(x\right)\geqslant 0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递增，④⑤ 正确；
当 $ a<0 $ 时，若 $ a=-3 $，则 $ f'\left(x\right)=3x^2-3 $，此时函数的极大值为 $ f\left(-1\right)=b+2 $，极小值为 $ f\left(1\right)=b-2 $，要使得 $ f\left(x\right) $ 只有一个零点，需 $ f\left(-1\right)>0 $ 或 $ f\left(1\right)<0 $ 成立，解得 $ b<-2 $ 或 $ b>2 $，所以 ①③ 正确，② 错误．
令 $ f\left(x\right)=x^3+ax+b $，则 $ f'\left(x\right)=3x^2+a $．
当 $ a\geqslant 0 $ 时，$ f'\left(x\right)\geqslant 0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递增，④⑤ 正确；
当 $ a<0 $ 时，若 $ a=-3 $，则 $ f'\left(x\right)=3x^2-3 $，此时函数的极大值为 $ f\left(-1\right)=b+2 $，极小值为 $ f\left(1\right)=b-2 $，要使得 $ f\left(x\right) $ 只有一个零点，需 $ f\left(-1\right)>0 $ 或 $ f\left(1\right)<0 $ 成立，解得 $ b<-2 $ 或 $ b>2 $，所以 ①③ 正确，② 错误．
题目
答案
解析
备注
