若函数 $f\left(x\right)\left(x \in {\mathbb{R}}\right)$ 是周期为 $ 4 $ 的奇函数，且在 $ \left[0,2 \right]$ 上的解析式为 $f\left(x\right) = \begin{cases} x\left(1-x\right) , &0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \sin {{\mathrm \pi} x} , & 1 < x \leqslant 2 ,\end{cases}$ 则 $f\left(\dfrac{29}{4}\right) + f\left( \dfrac{41}{6}\right) = $ ．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{5}{16}$
【解析】
利用函数的周期性和奇偶性，将问题转化成求区间 $[0,2]$ 上的函数求值问题解答．根据题意，得\[\begin{split}f\left( {\dfrac{29}{4}} \right) &= f\left( {8 - \dfrac{3}{4}} \right) \\&\overset {\left[a\right]}= f\left( { - \dfrac{3}{4}} \right) \\ &\overset {\left[b\right]}= - f\left( {\dfrac{3}{4}} \right) \\ &\overset {\left[c\right]}= - \dfrac{3}{4}\left( {1 - \dfrac{3}{4}} \right) \\ &= - \dfrac{3}{16},\\f\left( {\dfrac{41}{6}} \right)& = f\left( {8 - \dfrac{7}{6}} \right) \\&\overset {\left[a\right]}= f\left( { - \dfrac{7}{6}} \right)\\&\overset {\left[b\right]} = - f\left( {\dfrac{7}{6}} \right) \\&\overset {\left[c\right]}= - \sin \dfrac{7{\mathrm \pi} }{6}\\& \overset {\left[d\right]}= \dfrac{1}{2}.\end{split}\]（推导中用到 $ \left[a\right] $，$ \left[b\right] $，$\left[c\right]$，$\left[d\right]$．）所以\[f\left(\dfrac{29}{4}\right) + f\left( \dfrac{41}{6}\right) = \dfrac{5}{16}.\]
题目
答案
解析
备注
