本题属于新定义问题，考查导数的综合应用，对新定义的理解是解题的关键．可以用导数求解．对于 ①，曲线 $C:y = {x^3}$ 在点 $P\left( {0,0} \right)$ 处的切线是 $y = 0$．又当 $ x>0$ 时，$y = {x^3}-0>0$，所以图象 $ C $ 在直线 $l:y = 0$ 上方，当 $ x<0$ 时，$y = {x^3}-0<0$，图象 $C $ 在直线 $l:y = 0$ 下方．故直线 $l:y = 0$ 在点 $P\left( {0,0} \right)$ 处"切过"曲线 $C:y = {x^3}$；
对于 ②，$y=\left(x+1\right)^3$，$y'=3\left(x+1\right)^2$，所以函数在 $\left(-1,0\right)$ 处的切线斜率为 $0$，而 $x=-1$ 的斜率不存在，所以直线 $l$ 不与曲线 $C$ 相切；
对于 ③，$y=\sin x$ 在 $\left(0,0\right)$ 处的切线为 $y=x$，当 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$，$\sin x<x$；当 $x\in\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right)$，$\sin x>x$，满足曲线 $C$ 在 $P\left(0,0\right)$ 附近位于直线 $y=x$ 两侧，所以满足上述两个条件；
对于 ④，$y=\tan x$，$y'=\dfrac{1}{\cos^2x}$，故 $y=\tan x$ 在 $\left(0,0\right)$ 处的切线为 $y=x$，当 $x\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$，$\tan x>x$；当 $x\in\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right)$，$\tan x<x$，满足曲线 $C$ 在 $P\left(0,0\right)$ 附近位于直线 $y=x$ 两侧，所以满足上述两个条件；
对于 ⑤，由 $y=\ln x$，得 $y'=\dfrac{1}{x}$，故曲线 $C$ 在 $P\left(1,0\right)$ 处的切线为 $y=x-1$，设 $g\left(x\right)=x-1-\ln x$，得 $g'\left(x\right)=1-\dfrac{1}{x}$，当 $x\in\left(0,1\right)$ 时，$g'\left(x\right)<0$，当 $x\in\left(1,+\infty\right)$ 时，$g'\left(x\right)>0$，所以 $g\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上有极小值也是最小值，为 $g\left(1\right)=0$．所以 $y=x-1$ 恒在 $y=\ln x$ 的上方，不满足曲线 $C$ 在点 $P$ 附近位于直线 $l$ 的两侧，命题 ⑤ 错误．