对于 $c > 0$，当非零实数 $ a$，$b $ 满足 $4{a^2} - 2ab + {b^2} - c = 0$ 且使 $|2a + b|$ 最大时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ - 1$
【解析】
观察所求代数式发现有三个元，不易直接求解，可以从减少元的方向思考．由条件中的方程可以分析出 $c$ 可以由 $a$，$b $ 表示，而由代数式为最大时，则可得到 $a$ 与 $b$ 之间的关系．因此可以化三个元为一个元进行解答．寻找 $a$ 与 $b$ 的关系是个难点，可以把 $c$ 表示成平方和的形式后，利用柯西不等式解决．由 $4{a^2} - 2ab + {b^2} - c = 0$，得 ${c} = {\left( {2a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4}$．
由柯西不等式，得\[\begin{split}\left[ {\left( {2a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \right] \cdot \left[ {1^2} + {\left(\sqrt{3}\right)^2} \right] &\geqslant {\left[ {\left( {2a - \dfrac{b}{2}} \right) + \dfrac{3b}{2}} \right]^2} \\&= {\left( {2a + b} \right)^2},\end{split}\]当且仅当 $\dfrac{{2a - \frac{b}{2}}}{1} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {3} b}}{2}}}{{\sqrt {3} }}$，即 $2a = b$，$c = {b^2}$ 时取等号．从而\[\begin{split}\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c} &= \dfrac{4}{b}+ \dfrac{4}{b^2} \\&= 4{\left( {\dfrac{1}{b} +\dfrac 12} \right)^2} - 1,\end{split}\]所以当 $b=-2$，$a=-1$，$c=4 $ 时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 取得最小值 $ -1$．
由柯西不等式，得\[\begin{split}\left[ {\left( {2a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \right] \cdot \left[ {1^2} + {\left(\sqrt{3}\right)^2} \right] &\geqslant {\left[ {\left( {2a - \dfrac{b}{2}} \right) + \dfrac{3b}{2}} \right]^2} \\&= {\left( {2a + b} \right)^2},\end{split}\]当且仅当 $\dfrac{{2a - \frac{b}{2}}}{1} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {3} b}}{2}}}{{\sqrt {3} }}$，即 $2a = b$，$c = {b^2}$ 时取等号．从而\[\begin{split}\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c} &= \dfrac{4}{b}+ \dfrac{4}{b^2} \\&= 4{\left( {\dfrac{1}{b} +\dfrac 12} \right)^2} - 1,\end{split}\]所以当 $b=-2$，$a=-1$，$c=4 $ 时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 取得最小值 $ -1$．
题目
答案
解析
备注
