已知两个不相等的非零向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，两组向量 $\overrightarrow {x_1}$，$\overrightarrow {x_2}$，$\overrightarrow {x_3}$，$\overrightarrow {x_4} $，$\overrightarrow {x_5} $ 和 $\overrightarrow {y_1}$，$\overrightarrow {y_2}$，$\overrightarrow {y_3}$，$\overrightarrow {y_4}$，$\overrightarrow {y_5} $ 均由 $ 2 $ 个 $\overrightarrow a $ 和 $ 3 $ 个 $\overrightarrow b $ 排列而成．记 $S = \overrightarrow {x_1} \cdot \overrightarrow {y_1} + \overrightarrow {x_2} \cdot \overrightarrow {y_2} + \overrightarrow {x_3} \cdot \overrightarrow {y_3} + \overrightarrow {x_4} \cdot \overrightarrow {y_4} + \overrightarrow {x_5} \cdot \overrightarrow {y_5} $，${S_{\min }}$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
① $S$ 有 $ 5 $ 个不同的值；
② 若 $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b $，则 ${S_{\min }}$ 与 $\left|\overrightarrow a\right|$ 无关；
③ 若 $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $，则 ${S_{\min }}$ 与 $\left|\overrightarrow b \right|$ 无关；
④ 若 $\left|\overrightarrow b \right| > 4\left|\overrightarrow a \right|$，则 ${S_{\min }} > 0$；
⑤ 若 $\left|\overrightarrow b \right| = 2\left|\overrightarrow a \right|$，${S_{\min }} = 8\left|\overrightarrow a \right|^2$，则 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
① $S$ 有 $ 5 $ 个不同的值；
② 若 $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b $，则 ${S_{\min }}$ 与 $\left|\overrightarrow a\right|$ 无关；
③ 若 $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $，则 ${S_{\min }}$ 与 $\left|\overrightarrow b \right|$ 无关；
④ 若 $\left|\overrightarrow b \right| > 4\left|\overrightarrow a \right|$，则 ${S_{\min }} > 0$；
⑤ 若 $\left|\overrightarrow b \right| = 2\left|\overrightarrow a \right|$，${S_{\min }} = 8\left|\overrightarrow a \right|^2$，则 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②④
【解析】
在分析 $S$ 可能取值时，可以按数量积 $ \overrightarrow a\cdot \overrightarrow a $ 的个数分类讨论，在得到 $S$ 可能取值后，通过作差比较法得出最小值的情况后即可容易的解答本题了．$S $的可能情况有以下三种：
第一种 $S_1=2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a+3\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b $；第二种 $S_2=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a+2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+2{\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b $；第三种 $S_3={\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b+4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b $．
因此 $S$ 最多有 $3 $ 个不同的值，故 ① 错误；
因为 $S_1-S_2\geqslant 0 $，$S_2-S_3\geqslant 0 $．
所以 ${S_{\min }}=S_3={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b+4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$．
当 $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b $ 时，${S_{\min }}={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b$ 与 $\left|\overrightarrow a\right|$ 无关，故 ② 正确；
当 $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $ 时，${S_{\min }}={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b+ 4\left|\overrightarrow a \right|\left|\overrightarrow b \right| $ 或 ${S_{\min }}={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b- 4\left|\overrightarrow a \right|\left|\overrightarrow b \right| $ 与 $\left|\overrightarrow b\right|$ 有关，故 ③ 错误；
当 $\left|\overrightarrow b \right| > 4\left|\overrightarrow a \right|$ 时，$ {S_{\min }}\geqslant {\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b- 4\left|\overrightarrow a \right|\left|\overrightarrow b \right|>0$，故 ④ 正确；
当 $\left|\overrightarrow b \right| = 2\left|\overrightarrow a \right|$ 时，由 ${S_{\min }} = 8\left|\overrightarrow a \right|^2={\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b+4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$，得 $\left|\overrightarrow a \right|^2=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b $，所以 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，故 ⑤ 错误．
第一种 $S_1=2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a+3\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b $；第二种 $S_2=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a+2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+2{\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b $；第三种 $S_3={\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b+4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b $．
因此 $S$ 最多有 $3 $ 个不同的值，故 ① 错误；
因为 $S_1-S_2\geqslant 0 $，$S_2-S_3\geqslant 0 $．
所以 ${S_{\min }}=S_3={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b+4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$．
当 $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b $ 时，${S_{\min }}={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b$ 与 $\left|\overrightarrow a\right|$ 无关，故 ② 正确；
当 $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $ 时，${S_{\min }}={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b+ 4\left|\overrightarrow a \right|\left|\overrightarrow b \right| $ 或 ${S_{\min }}={\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b- 4\left|\overrightarrow a \right|\left|\overrightarrow b \right| $ 与 $\left|\overrightarrow b\right|$ 有关，故 ③ 错误；
当 $\left|\overrightarrow b \right| > 4\left|\overrightarrow a \right|$ 时，$ {S_{\min }}\geqslant {\overrightarrow b}\cdot\overrightarrow b- 4\left|\overrightarrow a \right|\left|\overrightarrow b \right|>0$，故 ④ 正确；
当 $\left|\overrightarrow b \right| = 2\left|\overrightarrow a \right|$ 时，由 ${S_{\min }} = 8\left|\overrightarrow a \right|^2={\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b+4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$，得 $\left|\overrightarrow a \right|^2=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b $，所以 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，故 ⑤ 错误．
题目
答案
解析
备注
