设 ${P_1}$，${P_2}$，$ \cdots $，${P_n}$ 为平面 $\alpha $ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha $ 内的所有点中，若点 $P$ 到 ${P_1}$，${P_2}$，$ \cdots $，${P_n}$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 ${P_1}$，${P_2}$，$ \cdots$，${P_n}$ 点的一个＂中位点＂．例如，线段 $AB$ 上的任意点都是端点 $A$，$B$ 的中位点．则有下列命题：
① 若三个点 $A$，$B$，$C$ 共线，$C$ 在线段 $AB$ 上，则 $C$ 是 $A$，$B$，$C$ 的中位点；
② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③ 若四个点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
① 若三个点 $A$，$B$，$C$ 共线，$C$ 在线段 $AB$ 上，则 $C$ 是 $A$，$B$，$C$ 的中位点；
② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③ 若四个点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
①④
【解析】
从两点之间线段最短这一结论入手思考，对于假命题只需要举出反例即可．显然 ① 是真命题．
考虑 ②：
如图（1），在 $\mathrm{Rt} \triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ $，$P$ 是 $AB$ 的中点，$CH \perp AB$，点 $P$，$H$ 不重合，则\[|PC| > |HC|.\]又 $|HA| + |HB| = |PA| + |PB| = |AB|$，所以\[|HA| + |HB| + |HC| \overset {\left[a\right]}< |PA| + |PB| + |PC|,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）所以点 $P$ 不是点 $A$，$B$，$C$ 的中位点，故 ② 是假命题．
考虑 ③：
如图（2），$A$，$B$，$C$，$D$ 是数轴上的四个点，若 $P$ 点在线段 $BC$ 上，则\[|PA| + |PB| + |PC| + |PD| = |AD| + |BC|,\]又 $|PA| + |PB| + |PC| + |PD| \geqslant |AD| + |BC|$，故由中位点的定义及 ① 可知，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 的中位点可能不唯一，故 ③ 是假命题．
如图（3），因为 $|PA| + |PB| + |PC| + |PD| \geqslant |AC| + |BD|$，等号成立当且仅当 $P$ 是 $AC$，$BD$ 的交点，所以梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故 ④ 是真命题．
考虑 ②：
如图（1），在 $\mathrm{Rt} \triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ $，$P$ 是 $AB$ 的中点，$CH \perp AB$，点 $P$，$H$ 不重合，则\[|PC| > |HC|.\]又 $|HA| + |HB| = |PA| + |PB| = |AB|$，所以\[|HA| + |HB| + |HC| \overset {\left[a\right]}< |PA| + |PB| + |PC|,\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）所以点 $P$ 不是点 $A$，$B$，$C$ 的中位点，故 ② 是假命题．
考虑 ③：
如图（2），$A$，$B$，$C$，$D$ 是数轴上的四个点，若 $P$ 点在线段 $BC$ 上，则\[|PA| + |PB| + |PC| + |PD| = |AD| + |BC|,\]又 $|PA| + |PB| + |PC| + |PD| \geqslant |AD| + |BC|$，故由中位点的定义及 ① 可知，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 的中位点可能不唯一，故 ③ 是假命题．
如图（3），因为 $|PA| + |PB| + |PC| + |PD| \geqslant |AC| + |BD|$，等号成立当且仅当 $P$ 是 $AC$，$BD$ 的交点，所以梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故 ④ 是真命题．
题目
答案
解析
备注
