若非零向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b $ 满足 $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|$，则 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 夹角的余弦值为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考安徽卷（文）
【标注】
【答案】
$ -\dfrac 1 3 $
【解析】
将向量的模平方运算得到 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的数量积是关键．将等式 $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|$ 两边平方，可得\[{\overrightarrow a}\cdot \overrightarrow a\overset {\left[a\right]} ={\overrightarrow a}\cdot \overrightarrow a+4\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b+4{\overrightarrow b}\cdot \overrightarrow b,\]（推导中用到 $\left[a\right]$）．所以\[ \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=-\left|\overrightarrow b\right|^2, \]又 $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| $，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\cos\left\langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\right\rangle$，所以可得 $\cos\left\langle \overrightarrow a,\overrightarrow b\right\rangle=-\dfrac 1 3 $．
题目
答案
解析
备注
