已知函数 $f\left(x\right)=\sin x$.若存在 $x_1$,$x_2$,$\cdots$,$ x_m$ 满足 $0\leqslant x_1<x_2<\cdots<x_m\leqslant 6{\mathrm \pi} $.且 ${\left|{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}\right|}+{\left|{f\left(x_2\right)-f\left(x_3\right)}\right|}+\cdots+{\left|{f\left(x_{m-1}\right)-f\left(x_m\right)}\right|}=12$($m\geqslant 2$,$m\in{\mathbb{N}}^*$),则 $m$ 的最小值为 .
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
从直观上看,由于当自变量 $x$ 从 $0$ 变化到 $6{\mathrm \pi} $ 时,函数值 $y$ 的总的改变量(也即变化过程中自变量对应的函数图象上的点在 $y$ 轴上的投影运动的路程)恰好为 $12$,因此区间的端点以及每一个极值点都应该被选取.否则,根据绝对值不等式,有函数值的位差和\[\sum\limits_{i=1}^{m-1}\left|f(x_i)-f(x_{i+1})\right|<12.\]这样就有 $m\geqslant 8$.
另一方面,取序列\[0,\dfrac{\mathrm \pi} 2,\dfrac{3{\mathrm \pi} }2,\dfrac{5{\mathrm \pi} }2,\dfrac{7{\mathrm \pi} }2,\dfrac{9{\mathrm \pi} }2,\dfrac{11{\mathrm \pi} }2,6{\mathrm \pi} \]就得到 $m=8$ 的情形.
综上所述,$m$ 的最小值为 $8$.

综上所述,$m$ 的最小值为 $8$.
题目
答案
解析
备注