在锐角三角形 $ ABC$ 中，$\tan A=\dfrac 12$，$D$ 为边 $BC$ 上的点，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 $2$ 和 $4$．过 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于 $E$，$DF\perp AC$ 于 $F$，则 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac{16}{15}$
【解析】
注意到 $\overrightarrow{DE}$ 和 $\overrightarrow{DF}$ 的夹角为 ${\mathrm \pi} -A$，因此问题的关键在于求 $DE\cdot DF$，而 $DE$、$DF$ 的“身份”分别为 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 的高，
因此有\[\begin{split}\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}&\overset{[a]}=DE\cdot DF\cdot\cos \left({\mathrm \pi} -A\right)\\&\overset{[b]}=\dfrac{2S_{\triangle ABD}}{AB}\cdot\dfrac{2S_{\triangle ADC}}{AC}\cdot\left(-\dfrac{2}{\sqrt 5}\right)\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{1}{AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{S_{\triangle ABC}}{6 \cdot AB\cdot AC}\\&\overset{[b]}=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{\dfrac 12\sin A}{6}\\&=-\dfrac{16}{15}.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）
因此有\[\begin{split}\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}&\overset{[a]}=DE\cdot DF\cdot\cos \left({\mathrm \pi} -A\right)\\&\overset{[b]}=\dfrac{2S_{\triangle ABD}}{AB}\cdot\dfrac{2S_{\triangle ADC}}{AC}\cdot\left(-\dfrac{2}{\sqrt 5}\right)\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{1}{AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{S_{\triangle ABC}}{6 \cdot AB\cdot AC}\\&\overset{[b]}=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{\dfrac 12\sin A}{6}\\&=-\dfrac{16}{15}.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）
题目
答案
解析
备注
