在锐角三角形 $ ABC$ 中,$\tan A=\dfrac 12$,$D$ 为边 $BC$ 上的点,$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 $2$ 和 $4$.过 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于 $E$,$DF\perp AC$ 于 $F$,则 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=$ .
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac{16}{15}$
【解析】
注意到 $\overrightarrow{DE}$ 和 $\overrightarrow{DF}$ 的夹角为 ${\mathrm \pi} -A$,因此问题的关键在于求 $DE\cdot DF$,而 $DE$、$DF$ 的“身份”分别为 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 的高,
因此有\[\begin{split}\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}&\overset{[a]}=DE\cdot DF\cdot\cos \left({\mathrm \pi} -A\right)\\&\overset{[b]}=\dfrac{2S_{\triangle ABD}}{AB}\cdot\dfrac{2S_{\triangle ADC}}{AC}\cdot\left(-\dfrac{2}{\sqrt 5}\right)\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{1}{AB\cdot AC}\\&=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{S_{\triangle ABC}}{6 \cdot AB\cdot AC}\\&\overset{[b]}=-\dfrac{64}{\sqrt 5}\cdot \dfrac{\dfrac 12\sin A}{6}\\&=-\dfrac{16}{15}.\end{split}\](推导中用到:[a],[b])

题目
答案
解析
备注