已知曲线 $C:x = - \sqrt {4 - {y^2}} $,直线 $l:x = 6$.若对于点 $A\left( {m,0} \right)$,存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的 $Q$ 使得 $\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow 0 $,则 $m$ 的取值范围为 .
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[2,3\right]$
【解析】
曲线 $C$ 是以原点 $O$ 为圆心,$2$ 为半径的半圆.根据题意,由 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$ 得 $A$ 是线段 $PQ$ 的中点.考虑当 $P,Q$ 运动时,其中点 $M$ 构成的平面区域:
先固定 $P$ 点为 $\left(x_P,y_P\right)$,让 $Q$ 点在直线 $l$ 上运动,这样就得到对应的 $M$ 点的轨迹是一条竖直的直线 $x=\dfrac{x_P+6}2$.然后让 $P$ 点在半圆上运动,则 $M$ 点的轨迹随之运动形成的区域即所有满足条件的 $M$ 点的集合,如图.因此 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{-2+6}2,\dfrac{0+6}2\right]$,即 $\left[2,3\right]$.

题目
答案
解析
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