若函数 $f\left(x\right) = \cos 2x + a\sin x$ 在区间 $\left(\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 是减函数,则 $a$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
$\left( { - \infty ,2} \right]$
【解析】
此题考查了复合函数的单调性问题.由 $f\left(x\right)$ 的形式可知,$f\left(x\right)$ 化简后是二次型的,它是由 $y=\sin x$ 与二次函数的复合,故可以通过研究复合函数的单调性方法来解答.$f\left(x\right)=\cos 2x + a\sin x=-2\sin ^2x+a\sin x+1$.
设 $ t=\sin x$,则 $ f\left(x\right)=-2t^2+at+1,t\in \left(\dfrac12,1\right)$.
因为在 $ x\in\left(\dfrac {\mathrm \pi} 6,\dfrac {\mathrm \pi} 2\right)$ 上 $ f\left(x\right)$ 为减函数,且 $ t=\sin x$ 在 $ x\in\left(\dfrac {\mathrm \pi} 6,\dfrac {\mathrm \pi} 2\right)$ 上为增函数,
所以 $ y=-2t^2+at+1$ 在 $ t\in \left(\dfrac12,1\right) $ 上为减函数.
由于 $ y=-2t^2+at+1$ 的图象开口向下,对称轴为 $ x=\dfrac a4$,
所以 $\dfrac a4\leqslant \dfrac 12 $,即 $ a\leqslant 2$.
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