已知点 $O\left(0,0\right)$，$A\left(1,0\right)$，$B\left(0,-1\right)$，$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 上一个动点，则 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（文）
【标注】
【答案】
$\left[-1,\sqrt 2\right]$
【解析】
其他的点的坐标都已知，而点 $P$ 在半圆上运动，故可设点 $P$ 的坐标，因此可以通过坐标公式求数量积．设 $P\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$，$\alpha \in \left[0,{\mathrm \pi} \right]$，则 $\overrightarrow{BA}=\left(1,1\right)$，$\overrightarrow{OP}=\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$，因此\[\begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BA}&\overset{\left[a\right]}=\cos \alpha +\sin \alpha \\&=\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm \pi} {4}\right)\in \left[-1,\sqrt{2}\right].\end{split}\]（推导中用到：[a]）
题目
答案
解析
备注
