已知点 $O\left(0,0\right)$,$A\left(1,0\right)$,$B\left(0,-1\right)$,$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 上一个动点,则 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA}$ 的取值范围是 .
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷(文)
【标注】
【答案】
$\left[-1,\sqrt 2\right]$
【解析】
其他的点的坐标都已知,而点 $P$ 在半圆上运动,故可设点 $P$ 的坐标,因此可以通过坐标公式求数量积.设 $P\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$,$\alpha \in \left[0,{\mathrm \pi} \right]$,则 $\overrightarrow{BA}=\left(1,1\right)$,$\overrightarrow{OP}=\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$,因此\[\begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BA}&\overset{\left[a\right]}=\cos \alpha +\sin \alpha \\&=\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm \pi} {4}\right)\in \left[-1,\sqrt{2}\right].\end{split}\](推导中用到:[a])
题目
答案
解析
备注