无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若对任意 $n\in \mathbb{N^{*}}$，$S_n\in\left\{2,3\right\}$，则 $k$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
关键条件是任意的 $\left\{S_n\right\}$ 只取两个值，故通过列举一一写出，从而找到规律．由于 $ S_n,S_{n+1}\in\left\{2,3\right\} $，于是 $a_{n+1}\in\left\{-1,0,1\right\}$，也即从第 $ 2 $ 项起数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的不同取值不超过 $ 3 $ 个，进而数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中的项的所有不同取值 $ k\leqslant 4 $．事实上，取数列\[\left\{a_n\right\}:2,\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\cdots,\]此时 $k=4$，因此 $k$ 的最大值为 $ 4 $．
题目
答案
解析
备注
