无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成,$S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和,若对任意 $n\in \mathbb{N^{*}}$,$S_n\in\left\{2,3\right\}$,则 $k$ 的最大值为 .
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
关键条件是任意的 $\left\{S_n\right\}$ 只取两个值,故通过列举一一写出,从而找到规律.由于 $ S_n,S_{n+1}\in\left\{2,3\right\} $,于是 $a_{n+1}\in\left\{-1,0,1\right\}$,也即从第 $ 2 $ 项起数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的不同取值不超过 $ 3 $ 个,进而数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中的项的所有不同取值 $ k\leqslant 4 $.事实上,取数列\[\left\{a_n\right\}:2,\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\underbrace{1,0,-1},\cdots,\]此时 $k=4$,因此 $k$ 的最大值为 $ 4 $.
题目
答案
解析
备注