已知直线 $l:mx+y+3m-\sqrt 3=0$ 与圆 $x^2+y^2=12$ 交于 $A$、$B$ 两点，过 $A$、$B$ 分别作 $l$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C$，$D$ 两点．若 $|AB|=2\sqrt 3$，则 $|CD|=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4 $
【解析】
本题考查的是直线与圆相交的弦长问题，利用弦长 $|AB|$ 列方程解出 $m$ 的值，进而得到直线的斜率，进一步在直角三角形中解决问题．由题意作图如下：
由 $|AB|=2\sqrt 3$ 知，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离\[|OM|\overset{\left[a\right]}=\sqrt{12-\left(\dfrac 12|AB|\right)^2}=3,\]（推导中用到[a]）
于是有\[\dfrac {\big|3m-\sqrt 3\big|}{\sqrt{m^2+1}}=3,\]解得 $m=-\dfrac {\sqrt 3}{3}$．从而直线 $l$ 的倾斜角$\angle BED=30^\circ$，故 $|CD|=\dfrac {|AB|}{\cos 30^\circ}=4$．
由 $|AB|=2\sqrt 3$ 知，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离\[|OM|\overset{\left[a\right]}=\sqrt{12-\left(\dfrac 12|AB|\right)^2}=3,\]（推导中用到[a]）于是有\[\dfrac {\big|3m-\sqrt 3\big|}{\sqrt{m^2+1}}=3,\]解得 $m=-\dfrac {\sqrt 3}{3}$．从而直线 $l$ 的倾斜角$\angle BED=30^\circ$，故 $|CD|=\dfrac {|AB|}{\cos 30^\circ}=4$．
题目
答案
解析
备注
