设直线 $y=x+2a$ 与圆 $C:x^2+y^2-2ay-2=0$ 相交于 $A,B$ 两点,若 $|AB|=2\sqrt 3$,则圆 $C$ 的面积为 .
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷(文)
【标注】
【答案】
$4{\mathrm \pi} $
【解析】
本题考查直线与圆相交的弦长问题,注意到半径,弦长的一半,点到直线的距离构成直角三角形是解决此类问题的关键.圆 $C$ 的圆心为 $C\left(0,a\right)$,半径为 $\sqrt{a^2+2}$,圆心 $C$ 到直线 $y=x+2a$ 的距离\[d=\dfrac{|a|}{\sqrt 2}.\]又 $|AB|=2\sqrt 3$,所以\[\left(\sqrt 3\right)^2+\left(\dfrac{|a|}{\sqrt 2}\right)^2=a^2+2.\]解得\[a^2=2,\]所以圆的面积为 $4{\mathrm \pi} $.
题目
答案
解析
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