设直线 $y=x+2a$ 与圆 $C:x^2+y^2-2ay-2=0$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $|AB|=2\sqrt 3$，则圆 $C$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（文）
【标注】
【答案】
$4{\mathrm \pi} $
【解析】
本题考查直线与圆相交的弦长问题，注意到半径，弦长的一半，点到直线的距离构成直角三角形是解决此类问题的关键．圆 $C$ 的圆心为 $C\left(0,a\right)$，半径为 $\sqrt{a^2+2}$，圆心 $C$ 到直线 $y=x+2a$ 的距离\[d=\dfrac{|a|}{\sqrt 2}.\]又 $|AB|=2\sqrt 3$，所以\[\left(\sqrt 3\right)^2+\left(\dfrac{|a|}{\sqrt 2}\right)^2=a^2+2.\]解得\[a^2=2,\]所以圆的面积为 $4{\mathrm \pi} $．
题目
答案
解析
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