设出公切线在两曲线上的切点的横坐标，分别表达出两曲线的切线方程，由它们是同一条直线可得方程组，解之即可．函数 $y=\ln x+2$ 的导函数为 $y'=\dfrac 1x$，函数 $y=\ln \left(x+1\right)$ 的导函数为 $y'=\dfrac{1}{x+1}$．设曲线 $y=\ln x+2$ 和曲线 $y=\ln \left(x+1\right)$ 上的切点横坐标分别为 $m,n$，该直线方程可以写成\[y=\dfrac 1m\cdot \left(x-m\right)+\ln m+2,\]也可以写成\[y=\dfrac{1}{n+1}\cdot \left(x-n\right)+\ln \left(n+1\right),\]整理后对比得\[\begin{cases} \dfrac 1m=\dfrac{1}{n+1},\\ \ln m+1=\ln \left(n+1\right)-\dfrac{n}{n+1},\end{cases} { 解得 }\begin{cases} m=\dfrac 12,\\ n=-\dfrac 12,\end{cases} \]因此 $b=1-\ln 2$．