若直线 $y=kx+b$ 为曲线 $y=\ln x+2$ 的切线,也是曲线 $y=\ln \left(x+1\right)$ 的切线,则 $b=$ 
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
$1-\ln 2$
【解析】
设出公切线在两曲线上的切点的横坐标,分别表达出两曲线的切线方程,由它们是同一条直线可得方程组,解之即可.函数 $y=\ln x+2$ 的导函数为 $y'=\dfrac 1x$,函数 $y=\ln \left(x+1\right)$ 的导函数为 $y'=\dfrac{1}{x+1}$.设曲线 $y=\ln x+2$ 和曲线 $y=\ln \left(x+1\right)$ 上的切点横坐标分别为 $m,n$,该直线方程可以写成\[y=\dfrac 1m\cdot \left(x-m\right)+\ln m+2,\]也可以写成\[y=\dfrac{1}{n+1}\cdot \left(x-n\right)+\ln \left(n+1\right),\]整理后对比得\[\begin{cases} \dfrac 1m=\dfrac{1}{n+1},\\ \ln m+1=\ln \left(n+1\right)-\dfrac{n}{n+1},\end{cases} { 解得 }\begin{cases} m=\dfrac 12,\\ n=-\dfrac 12,\end{cases} \]因此 $b=1-\ln 2$.
题目 答案 解析 备注
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